30 novembre - Séminaire à l’ECL organisé à l’occasion du 60ème anniversaire de François Musy :
Mathématiques appliquées à l’électromagnétisme
Exposé à 14h, par A. Bossavit (LGEP) :
Magnétoélasticité et magnétostriction : en finir avec le tenseur de
Maxwell
Exposé à 15h, par Monique Dauge (IRMAR, Université Rennes 1) :
Analyse modale pour un opérateur de Schrödinger avec potentiel électrique dégénéré sur le demi-espace
Organisé par Jean-François Maitre, Professeur Émérite à l’ECL, ce séminaire permettra aussi d’entendre (avant le déjeuner, voir Programme complet) :
- Ronan Perrussel (CNRS, Ampère), sur la résolution des grands systèmes issus des problèmes de l’électromagnétisme et
- Clair Poignard (INRIA, Bordeaux), sur les modèles asymptotiques pour des couches rugueuses.
Alain Bossavit a travaillé aux Études et Recherches de EDF. Il est aujourd’hui chercheur émérite au Laboratoire de Génie Électrique de Paris (Supélec). Il est l’une des principales références mondiales pour les méthodes numériques de calcul des champs électromagnétiques dans les dispositifs du Génie Électrique.
Résumé des 2 présentations de l’après-midi :
A. Bossavit : Magnétoélasticité et magnétostriction : en finir avec le tenseur de
Maxwell
Intégrer le tenseur de Maxwell (M^ij = H^i B^j - 1/2 H^k B^k
delta^ij, si l’on néglige l’effet du champ électrique) sur une surface
fermée S fournit la force exercée par le champ sur la matière à
l’intérieur de S. Il est donc naturel d’interpréter la divergence de
M comme la densité de force magnétique. Beaucoup d’articles et de
traités le font, et traitent M comme l’un des objets primitifs de la
théorie de Maxwell, au même titre que les champs eux-mêmes. La force
serait ainsi connue dès que l’on connaît le champ.
Or il y a une autre voie d’accès aux forces, à savoir le principe des
puissances virtuelles (PPV), qui suppose la connaissance de l’énergie
totale (élastique et magnétique) du système couplé en fonction de toute
la configuration (tenseur de déformation et champ magnétique).
Connaître plus, c’est être en mesure de déduire plus, donc d’une part on
devrait pouvoir dériver le tenseur de Maxwell du PPV, et d’autre part le
résultat selon lequel div M est la densité de force exigerait des
hypothèses complémentaires pour être prouvé.
Il en est bien ainsi. La théorie des forces déborde du cadre de la
théorie de Maxwell, et le tenseur de Maxwell cesse d’être utilisable
dans certains cas, ceux où il y a magnétostriction "au sens strict",
c’est-à-dire quand la loi B—H dépend de la déformation *locale* et
que (réciproquement) la loi contrainte—déformation dépend du champ
*local*. En bref, le PPV domine, et M n’est dans la théorie qu’un
objet dérivé.
Monique Dauge : Analyse modale pour un opérateur de Schrödinger avec potentiel électrique dégénéré sur le demi-espace
D’après un travail en commun avec Virginie Bonnaillie-Noël, Nicolas
Popoff et Nicolas Raymond :
http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00527643
Notre sujet d’étude est le bas du spectre de l’opérateur de Schrödinger
avec un potentiel électrique quadratique qui s’annule tout le long d’une
droite. Nous considérons cet opérateur sur le demi-espace avec les
conditions aux limites de Neumann. Le spectre dépend fortement de
l’angle \theta que fait la droite d’annulation du potentiel avec le bord
du demi-espace. Il y a toujours des valeurs propres sous le spectre
essentiel. Nous montrons des propriétés de localisation des vecteurs
propres le long et transversalement à la droite d’annulation. D’autre
part, lorsque l’angle \theta devient petit le nombre de valeurs propres
augmente: nous exhibons un développement asymptotique en puissances de
\theta de chaque valeur propre selon son rang, après classement par
ordre croissant. Nous présentons le résultat de calculs réalisés avec la
librairie éléments finis Mélina. Ils illustrent clairement la
localisation des vecteurs propres, et la façon dont ils s’étalent quand
\theta tend vers 0. La ressemblance avec les quasimodes asymptotiques
est aussi clairement visible dans ce cas.
Ce problème apparaît comme modèle quand on étudie l’opérateur de
Schrödinger avec champ magnétique en dimension 3 avec conditions de
Neumann. Nos résultats peuvent être rapprochés d’un article de Martinez,
Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor. (1989) qui considère des
potentiels similaires, mais dans l’espace tout entier. Ici,
l’interaction avec le bord du domaine est particulièrement intéressante,
cf. aussi nos travaux précédents sur l’opérateur de Schrödinger avec
champ magnétique dans des polygones :
http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00015903